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組合學(排容原理). 發問者： 扁頭科學 ( 初學者 3 級)
發問時間： 2013-10-26 19:21:49
解決時間： 2013-10-27 16:15:26
解答贈點： 5 ( 共有 0 人贊助 )
回答： 2 評論： 0 意見： 0
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m個不同的球投入n個不同的箱子，不允許有空箱的方法有幾種?
答案是Σ(i=0 to n) (-1)^i C(n,i) (n-i)^m
想要知道這是怎麼想的，謝謝幫忙~! 最佳解答發問者自選
.. 回答者： ocean知識貧民 ( 實習生 1 級 )
擅長領域： 商業 | 商務應用
回答時間： 2013-10-26 22:24:07
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把箱子固定住並編號1號箱、2號箱、3號箱、、、、n號箱。
把球編號：1號球、2號球、、、、、、m號球。
以球為出發，丟入箱子：
1.隨便丟(可能會有空箱)
第1號球可以選擇丟其中n個箱子，且第2號球也可以選擇丟n個箱子，...，且第m號球也可以選擇丟n個箱子。=>共有n^m選擇
(當然以上丟法有些箱子可能會空箱)....(所以運用排容原理)。
2.恰有1個空箱，此時箱子組合為C(n,1)，每一箱子組合下，把球丟入剩餘n-1個空箱。共有C(n,1)*(n-1)^m
3.恰有2個空箱，此時箱子組合為C(n,2)，每一箱子組合下，把球丟入剩餘n-2個空箱。共有C(n,2)*(n-2)^m
4.恰有幾個空箱，...........由上以此類推...............................
..
..
..
..
n.恰有n-1個空箱，此時箱子組合為C(n,n-1)，每一箱子組合下，把球丟入剩餘1個空箱。共有C(n,n-1)*(1)^m
由排容原理知：
不允許有空箱的組合=
全部的組合-恰有1個空箱的組合+恰有2個空箱的組合-恰有3個空箱組合....+恰有n-1個空箱組合。
=n^m-C(n,1)*(n-1)^m+C(n,2)*(n-2)^m-+-+-+-+....+C(n,n-1)*(1)^m
=C(n,0)*n^m-C(n,1)*(n-1)^m+C(n,2)*(n-2)^m-+-+-+-+....+C(n,n-1)*(1)^m
(PS.最後一項的係數是正或副，要看n是奇數還是偶數)
=Σ(i=0 to n) (-1)^i C(n,i) (n-i)^m
2013-10-26 22:29:08 補充
更正：把球丟入剩餘n-1個"空箱"。把"空箱"更正為"非空箱"
其他剩餘n-2、剩餘1個"空箱"也更正為"非空箱"。
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回答者： eolgdjo ( 初學者 5 級 )
回答時間： 2013-10-27 01:40:47
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